1
Studijní opory předmětu MT 003 STATISTIKA v kombinovaném studiu
Vysoké školy hotelové v Praze, bakalářský studijní program všech oborů
Předmět MT 003 STATISTIKA je složen ze dvou rovnocenných částí a to z části statistika a
z části matematika a je určen studentům kombinovaného studia všech oborů VŠH.
Výuka předmětu "MT 003 STATISTIKA" v kombinovaném studiu bakalářského studijního
programu všech oborů probíhá ve třech modulech, celkem 15 hodin, každý modul je
pětihodinový (5 - 5 -5). Poměr výuky části statistika a matematika je 50% pro statistiku a 50%
pro matematiku. Formou atestace je zkouška (6 kreditů).
Garant předmětu: Dr. Ing. Sylva Skupinová
Přednášející: Dr. Ing. Sylva Skupinová; Doc. RNDr. Miloslav Malec, CSc.
Cvičící: Dr. Ing. Sylva Skupinová; Doc. RNDr. Miloslav Malec, CSc. (podle počtu studentů
zapsaných v tutoriálu)
Zkoušející: Dr. Ing. Sylva Skupinová; Doc. RNDr. Miloslav Malec, CSc.
Úvodní tutoriál
Obsahová náplň předmětu MT003 část statistika
1. Statistika - zajímavosti a historie statistiky
2. Statistika - vědní disciplína, základní statistické pojmy
3. Rozdělení statistických charakteristik, míry polohy
4. Míry variability
5. Typy proměnných, rozdělení četností
6. Statistické třídění
7. Metody zkoumání závislosti – kontingence, asociace
8. Metody zkoumání závislosti – regrese
9. Metody zkoumání závislosti – korelace
10. Absolutní přírůstek a index
11. Indexy úrovně a množství, indexní řady
12. Souhrnné indexy
2
Obsahová náplň předmětu MT003 část matematika
1. Algebra reálných čísel
2. Pojem funkce, elementární funkce a její grafy
3. Základní vlastnosti funkcí, algebraické operace s funkcemi, funkce složená
4. Posloupnosti
5. Rovnice a nerovnice
6. Pojem derivace, její význam a výpočet
7. Lokální extrémy funkce
8. Průběh funkce – použití první derivace ke konstrukci grafů jednodušších funkcí
9. Neurčitý a určitý integrál, jednoduché metody
10. Aplikace určitého integrálu – výpočet velikosti plochy
11. Pravděpodobnost – její výpočet
12. Distribuční funkce, normální rozdělení, jeho vlastnosti
13. Opakování základních pojmů a vzorových příkladů
Studijní literatura
Základní:
Novák, I.: Statistika. 2001,VŠH, ISBN 80-86578-56-9
Malec, M.: Elementární matematika. VŠH, 2008, Vysoká škola hotelová, ISBN 978-80-
86578-62-0
Doporučená:
Jirásek, F.; Benda J.: Matematika pro bakalářské studium. Ekopress Praha, 2006, Tiskárny
Havlíčkův Brod, ISBN 80-86929-02-7
Pecáková, I., Novák, I., Herzmann, J.:Pořizování a vyhodnocování dat. VŠE Praha,
2004,Oeconomica ISBN 80-245-0753-6
Hindls, R., Hronová, S., Novák, I.: Analýza dat v manažérském rozhodování. VŠE Praha,
1999 ,Grada, ISBN 80-7169-255-7
Kaňka, M., Henzler, J.: Matematika pro ekonomy. Ekopress, Praha 1997.
Hindls, R. a kol.: Statistika pro ekonomy. Professional Publishing, Praha 2007.
Cíle výuky předmětu MT003
3
Studenti budou seznámeni se základními i nadstavbovými matematickými a statistickými
operacemi a postupy používanými v ekonomické a hospodářské praxi.
Předmět je zaměřen rovněž na problémy vznikající při aplikacích těchto metod.
Získané poznatky studenti využijí v nadstavbových předmětech bakalářského a následně
magisterského studia popřípadě při zpracování dat v bakalářské práci.
Osvojené postupy z oblasti statistiky a matematiky umožní studentovi pochopit základní
principy ekonomických modelů používaných v praxi.
Požadavky ke zkoušce
Předmět MT 003 Statistika je ukončen písemnou a ústní zkouškou. Předpokladem pro její
složení je:
• aktivní účast na výuce v jednotlivých modulech (soustředění)
• prostudování základní literatury a studijních opor
• splnění korespondenčních úkolů
• úspěšné absolvování závěrečných testů a ústní části zkoušky
Organizace studia
Výuka předmětu "MT 003 Statistika" (semestrální kurz) je rozdělena na kontaktní a distanční
část a probíhá ve třech modulech. Kontaktní výuka (15 hodin) je realizována v rámci tří
soustředění, jde o 5 + 5 + 5 hodin přímé výuky. Části statistika a matematika jsou
rovnocenné, každá část zaujímá 50% výuky. V každém soustředění se uskuteční výuka
jednoho modulu, který tvoří dvě povinné části: "tutoriál" a "průvodce studiem".
Převážná část kombinovaného studia předmětu MT 003 má sice distanční formu, avšak z
hlediska pedagogického přístupu ke studentům a jejich možnostem spolupracovat s
vyučujícím (tutorem), jde o průběžnou výuku. Na tutoriálech a ve studijních materiálech jsou
zadávány úkoly, jejichž splněním student dokládá průběžnost svého studia. Komunikace s
vyučujícím je zajištěna přes Internet (skupinova@vsh.cz; malec@vsh.cz) a v průběhu
semestru může student navštívit konzultační hodiny učitele. V případě problémového tématu
má možnost navštívit přednášky či semináře prezenčního studia. Pokud mu nestačí konzultace
telefonická či prostřednictvím výukového prostředí (IS), může si student domluvit
individuální (event. kolektivní) konzultaci. Administrativu studia zajišťuje příslušná
referentka studijního oddělení. Všechny kontakty mezi učitelem a studujícím probíhají v
rámci informačního systému VŠH.
4
Časový harmonogram výuky a obsahové zaměření modulů část statistika:
1. modul (únor) = Základní statistické charakteristiky (téma 1 - 6)
2. modul (březen) = Metody zkoumání závislosti (téma 7 - 9)
3. modul (květen) = Absolutní přírůstek a index (téma 10 - 12)
Časový harmonogram výuky a obsahové zaměření modulů část matematika:
Obsahová náplň matematické části předmětu:
1. modul (únor) = Vybrané kapitoly z elementární matematiky – výroky, množiny, algebra
reálných čísel, rovnice, nerovnice, reálné funkce – základní vlastnosti, funkce elementární.
2. modul (březen) = Zavedení pojmu derivace a integrálu, jejich aplikace.
3. modul (květen) = Elementy pravděpodobnosti.
Tutoriály:
Na úvodním tutoriálu na začátku semestru jsou studenti seznámeni, v rámci tzv. průvodce
kurzu, s obsahem předmětu, s časovým rozvržením výuky jednotlivých tématických okruhů, s
místem předmětu ve studijním plánu oboru, s povinnou literaturou, cílem výuky a s
požadavky ke zkoušce. Je zde vysvětlen přístup k tzv. studijním oporám (studijní materiály,
metodické listy) a způsob odevzdávání kontrolních úkolů (testů) v informačním systému
VŠH. Studentům je objasněn způsob hodnocení kontrolních úkolů a termíny jejich
odevzdávání. Je probrána celková organizace výuky.
Na průběžném tutoriálu (uprostřed semestru) učitel vyhodnocuje dosavadní práci studentů.
Studenti musí zaslat vyřešené úkoly elektronicky před zahájením týdne konzultací. Učitel
upozorní na závažné nedostatky a v případě potřeby obtížná témata vysvětlí.
Na závěrečném tutoriálu na konci semestru učitel vyhodnotí uložené úkoly z minulého
tutoriálu a práci studentů za celý semestr. Upozorní na problémové otázky tématických
okruhů ke zkoušce. Podle potřeby proběhne společná konzultace. Studenti jsou seznámeni s
časovým harmonogramem zkoušek.
Průvodce studiem:
V této kontaktní části studia je proveden metodický výklad (přednáška) daného tématického
celku. Studenti jsou seznámeni s tím, co budou studovat z povinné literatury (musí být k
dispozici pro studenty), jaká úskalí je čekají při samostudiu a jak jim bude učitel pomáhat při
studiu. Velká pozornost je věnována jejich práci se studijními oporami, které jim nahrazují
5
bezprostřední kontakt s vyučujícím na cvičeních (seminářích). Studijní opory jsou připraveny
pro každý tématický okruh (kapitolu učebnice). Jejich součástí jsou: cíle, úvod, vlastní výklad
tématu, shrnutí vyložené problematiky, klíčové pojmy, úkoly k zopakování a procvičení,
odkazy na další studijní zdroje a hodnocení. Studijní opory jsou vloženy v rámci IS do části
studijní materiály předmětu MT003. Zpětnovazební prvky výuky (korespondenční úkoly)
vyučující vkládají v informačním systému do položky odpovědníky. Jejich zadání musí být
jednoznačné a nesmí umožňovat různá řešení (pokud to ale není záměr vyučujícího).
Vypracované úkoly studenti vkládají do odevzdavárny, event. přímo vyučujícímu.
Při studiu předmětu MT003 student využívá tři informační zdroje:
metodologický výklad učitele, který vychází z předepsané literatury
kontaktní výuku v rámci tutoriálu a samostudia;
předepsanou literaturu a metodické materiály
Průvodce studiem jednotlivých MODULŮ
A) ČÁST STATISTIKA
1. Modul
Modul tvoří tři tématické okruhy. Každý je probírán samostatně, jako kapitola v učebním
materiálu.
Tématické okruhy:
1.1. Pojem statistika; Historie statistiky; Český statistický úřad
1.2 Statistické charakteristiky
1.3. Statistické třídění
Studijní cíle
V této kapitole se studenti seznámí se základními statistickými pojmy a historickými základy
vědní disciplíny „statistika“. Bude objasněna práce a význam Českého statistického úřadu
včetně uvedení kontaktních údajů na tuto státní organizaci. Dále budou studenti seznámeni se
základními statistickými charakteristikami, postupy výpočtu a metodami statistického třídění.
6
Klíčová slova: pojem statistika, historie statistiky, ČSÚ, statistický soubor, normované
normální rozdělení, typy proměnných, míry polohy, míry variability, četnostní tabulky
1.1. Pojem statistika, Historie statistiky, Český statistický úřad
Slovo statistika vzniklo z latinského slova
„status“ = stav
Pod pojmem statistika lze rozlišit následující významy:
•Číselné údaje
•Praktická činnost
•Vědní disciplína
V povědomí lidí se běžně vyskytují výrazy: statistický úřad, statistický vzorec, statistický
výpočet.
Statistika se zabývá zkoumáním pravidelností a zákonitostí, projevujících se v tzv.
hromadných jevech a vyjadřuje je číselně. Řada symbolů ve statistice čerpá z řecké abecedy.
Statistika jako vědní disciplína:
•Pracuje s hromadnými jevy
•Hledá zákonitosti hromadných jevů, ke kterým využívá hromadná pozorování
•Používá kvantitativní metody hodnocení s využitím matematiky
• Je aplikovatelná ve většině oborů kvantitativního výzkumu
Statistika zahrnuje:
•Sběr dat
–Průzkum
•Prezentování dat
–Grafy
–tabulky
•Popis dat
–Rozptyl
–Modus…
1.2. Historie statistiky
•Úřední zjišťování
7
- Vojenské a finanční účely panovníků, sčítání obyvatel
(Egypt 3000 let př.n. l., Čína)
•Univerzitní statistika
- 18.století, pouze slovní výrazy;německý prof. Gottfried Achenwall (1719-1772) –
rozšíření slova „statistika“ (státní zvaláštnosti)
•Politická aritmetika
- Nestačí jevy pouze popisovat, je nutné hledat zákonitosti jejich fungování
Adolphe Jacques Quételet (1796-1874) – zavedl pojem průměrný (ideální) typ
člověka, koncept normálního rozdělení, střední hodnoty a rozptylu
•Teorie pravděpodobnosti + Matematická statistika
Matematici 17-19. století
- Ve 20. století dochází k výběrovému zjišťování s využitím teorie pravděpodobnosti
- Karl Pearson (1857-1936)
Statistika 19. a počátku 20. století Þ vytváření rozsáhlých souboru dat, sběr mnoha informací
od co nejširšího okruhu respondentů, se zjevným cílem: obsáhnout ve svém šetření celou
populaci a tím získat maximálně přesný obraz stavu společnosti
Úvaha z časových a finančních důvodů: je opravdu třeba zkoumat celou populaci, nebo
postačí vybrat pouze její reprezentativní vzorek???
Na základe této myšlenky se počátkem 20. století zrodila matematická statistika, disciplína,
jejímž charakteristickým rysem je hledání metod, jež by umožnily vytvoření závěru o celku
na základě výběru
Česká republika má z historického hlediska ve statistice velmi silné kořeny. Za vůbec
nejstarší dochovaný soupis je považován soupis majetku litoměřického kostela z roku 1058,
který je součástí zakládací listiny knížete Spytihněva II.
Významné osobnosti ve statistice lze nalézt na následujících www
stránkách:http://www.economics.soton.ac.uk/staff/aldrich/Figures.htm
Český statistický úřad (ČSÚ)
K 1. 1. 1993 se vznikem ČR převzal ČSÚ všechny kompetence národního statistického úřadu
(zákon č. 89/1995 Sb., O státní statistické službě, novelizace k 1. 1. 2001, ve znění pozdějších
předpisů) ČSÚ nabízí přístup k mnoha významným statistickým informacím, klientům je
k dispozici knihovna, studovna. ČSÚ poskytuje zásadní literární prameny se statistickými
výstupy ve formě ročenek i necyklických publikací.
Adresa a kontaktní údaje ČSÚ:
8
Na padesátém 81
100 82 Praha 10
Tel: 274 051 111 (ústředna)
http://www.czso.cz/
1.2. Statistické charakteristiky
Základní pojmy
•Hromadný jev – předmět statistiky:
Hromadné jevy = jakékoliv přírodní nebo společenské jevy (skutečnosti), týkající se souboru
prvků určitým způsobem definovaných – neboli jevy, které se vyskytují u velkého počtu
jednotek, přičemž jejich konkrétní forma na individuální jednotce je výsledkem působení
určitého seskupení činitelů
•Soubory = statistické soubory – množina statistických jednotek (mající společné vlastnosti)
•Prvky statistických souborů = statistické jednotky – základní objekt pozorování, na kterém
je možné zkoumat konkrétní projevy sledovaného hromadného jevu (osoba, hotel, domácnost,
událost…)
Rozsah souboru – počet jednotek, tvořících statistický soubor
Statistický soubor
•Vymezení:
–Věcné (druhové) (Příklad: průměrná měsíční mzda žen)
–Prostorové (Příklad: zaměstnankyně hotelu „Sen“ )
–Časové (Příklad: srpen 200n)
•Rozsah:
–Základní soubor (populace), rozsah N
–Výběrový soubor (vzorek), rozsah n•Obsah
–Je určen znaky statistických jednotek
Statistický znak = proměnná – vnější, pozorovatelný, měřitelný projev vlastností statistické
jednotky. Variabilní statistický znak – vlastnosti, v nichž se jednotky souboru mohou lišit
9
Statistické třídění
Třídění jednotek podle jednoho znaku v rámci statistického souboru umožňuje popis jeho
charakteristických skupin
Třídění jednoduché = jednostupňové
(Příklad: rozdělení populace na muže a ženy)
vícestupňové (vícenásobné) (Příklad: muži do 50 let…)
Třídící znaky (kriteria) - znaky umožňující roztřídění souboru do skupin (věk…)
Statistické charakteristiky – charakteristika vlastnosti množiny hodnot = charakteristika
vlastnosti souboru daných jednotek, například aritmetický průměr
Techniky pořizování dat
•Dotazování
- ústní – přesné odpovědi, minimalizace odmítání
- písemné – levné, nízká návratnost dotazníků
- telefonické – mnoho dotazovaných odmítá odpovědět
- elektronické…
•Měření (laboratorní výsledky…)
Proměnné ve statistice
Nejčastější typy proměnných ve statistických výpočtech
10
Spojité proměnné – mohou nabývat všech hodnot z konečného nebo nekonečného
intervalu (tělesná teplota, cena zboží)
Diskrétní (nespojité) proměnné - nabývají konečně nebo spočetně mnoha od sebe
vzájemně oddělených hodnot (počet srdečních stahů za minutu, počet míst v restauraci)
Nejčastěji využívaný typ rozdělení ve statistice je Gaussovo rozdělení, které po transformaci
převedeme na N(0; 1) normované normální rozdělení s následujícími vlastnostmi:
– zásadní význam ve statistické teorii i aplikacích
– je nejdůležitějším a nejfrekventovanějším rozdělením spojitých náhodných veličin
– lze jím nahradit i rozdělení diskrétní
– určujeme pravděpodobnost, že náhodná veličina X z normálního rozdělení bude
nabývat hodnot z nějakého intervalu (a, b)
(Převzato z http://someonecz.blogspot.com/2009/10/iq-aneb-proc-je-chytry-kluk-sam.html)
Grafické znázornění normálního rozdělení je dáno touto symetrickou jednovrcholovou
hustotou, která je zvonovitého tvaru a nikde neprotíná vodorovnou osu. Normované normální
rozdělení je tabelizované vis část matematika kapitola Normální rozdělení. Tabulky bývají
součástí základní statistické literatury nebo PC programů. Průměr µ - parametr ležící pod
vrcholem hustoty. Parametr σ - směrodatná odchylka a jeho druhá mocnina σ2
je rozptyl
veličiny X. Plocha pod křivkou hustoty normálního rozdělení je rovna jedné.
Pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnot z určitého intervalu, je rovna ploše pod
hustotou nad tímto intervalem.
Příklad:
Pro interval s hranicemi µ-1,96σ a µ+1,96σ má tato plocha velikost 0,95. Náhodná veličina X
nabývá tedy hodnot z tohoto intervalu s 95% pravděpodobností a pouze s 5%
pravděpodobností leží její hodnoty mimo uvedený interval
2
2
2
)(
2
1
)( σ
µ
πσ
−−
=
x
exf
11
Statistické charakteristiky
Základní statistické charakteristiky studujeme u dvou typů statistických souborů:
•Základní statistický soubor (symbolika je vyjádřena řeckou abecedou) – nekonečné
(hypotetické) nebo velmi rozsáhlé konečné soubory (statisíce jednotek)
•Výběrový statistický soubor(symbolika je vyjádřena latinskou abecedou) – malé (desítky
jednotek) a velké výběry (stovky až tisíce jednotek)
Na základě údajů o výběrovém souboru, na základě výběrových dat, formulujeme závěry o
základním souboru!
Míry polohy
Rozsah statistického souboru - n
•Aritmetický průměr x – střední hodnota kvantitativního statistického
znaku (součet hodnot, dělený jejich počtem)
•Medián x~ – je-li n (rozsah souboru) liché číslo, medián je prostřední hodnota; je-li n sudé
číslo je medián aritmetickým průměrem dvou prostředních hodnot
•Modus xˆ – hodnota nejčastěji se v souboru vyskytující
•Kvantily
Kvantily jsou míry polohy rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny. Popisují body, ve
kterých distribuční funkce náhodné proměnné prochází danou hodnotou.
V statistice kvantily rozdělují seřazený soubor na několik (zhruba) stejně velkých částí.
Kvantily pro některé význačné hodnoty jsou označovány zvláštními jmény a pro nejdůležitější
rozdělení jsou hodnoty základních kvantilů uváděny v tabulkách.
Percentil - dělí statistický soubor na setiny. 1% kvantil je 1. percentil.
n
x
x
i∑=
12
Decil - dělí statistický soubor na desetiny. 10% kvantil je 1. decil.
Kvartily - oddělují ze statistického souboru čtvrtiny. Rozlišuje se dolní kvartil a horní kvartil.
25% kvantil je 1. kvartil (dolní kvartil) a 75% kvantil je 3 kvartil (horní kvartil).
Medián - kvantil rozdělující statistický soubor na dvě stejně početné množiny. Medián je
totéž co 50% kvantil, 2. kvartil, 5. decil nebo 50. percentil.
Dobrý popis rozdělení pravděpodobnosti dostaneme stanovením dostatečného počtu kvantilů.
Příklad: Kvantily lze používat např. pro vyhodnocování přijímacích testů: bodové výsledky
všech zájemců tvoří statistický soubor, zatímco příslušné kvantily označují, jaká část zájemců
dosáhla daného výsledku. Pokud například kvantil 90 % má hodnotu 150 bodů a některý
student v testu získal právě 150 bodů, ví, že má lepší hodnocení než 90 % všech studentů (je
tedy mezi 10 % nejlepších a pokud má být přijato např. 15 % zájemců, měl by se
kvalifikovat).
•Dolní kvartil – horní mez jedné čtvrtiny nejmenších hodnot v uspořádaném výběru
Výpočet n/4
- je-li výsledek celé číslo, kvartil je aritmetický průměr hodnoty n/4-té a n/4+1-ní
-není-li výsledek celé číslo, hledáme nejmenší celé číslo větší než n/4 a kvartilem je hodnota s
tímto pořadovým číslem v uspořádaném výběru
•Horní kvartil – dolní mez jedné čtvrtiny největších hodnot v uspořádaném výběru
Výpočet 3n/4, postup stejný jako pro dolní kvartil
Poznámka: Při výpočtu charakteristik míry polohy, vyjma aritmetického průměru, je nezbytné
data seřadit do tzv. uspořádaného výběru, kdy data řadíme od minimální po maximální
hodnotu. Rozsah souboru n musí být po seřazení zachován.
Míry variability nedefinující proměnlivost uvnitř souboru dat
Variační rozpětí R - je rozdílem mezi maximální a minimální hodnotou znaku: R =
xmax – xmin
Používá se jako základní informace pro návrh hranic intervalů při statistickém třídění.
13
Mezikvartilové rozpětí – rozdíl mezi horníma dolním kvartilem.
Udává délku intervalu, ve kterém leží zhruba polovina pozorovaných hodnot.
Míry variability definující proměnlivost uvnitř souboru dat
•Rozptyl – nejpoužívanější míra variability. Rozptyl je průměrná hodnota ze součtu čtverců
odchylek jednotlivých hodnot souboru od aritmetického průměru (µrespektive x );
charakterizuje střední stupeň kolísání hodnot v souboru kolem aritmetického průměru. Je
vyjádřen ve druhých mocninách jednotek sledovaného znaku.
Pro základní statistický soubor se označuje σ2
,
2
nσ s
2
,
pro výběrový statistický soubor
2
1-nσ , S
2
.
x – numerická proměnná, xi – hodnoty numerické proměnné u vybraných jednotek, i = 1,2…n
•Směrodatná odchylka σ (základní soubor) respektive S (výběrový soubor) – je kladná
hodnota druhé odmocniny rozptylu. Vyjadřuje střední kolísání hodnot znaku v souboru okolo
aritmetického průměru ve stejných jednotkách v jakých je vyjádřen aritmetický průměr.
2
σσ = 2
SS =
•Variační koeficient Vk – je relativní charakteristikou variability. Vyjadřuje variabilitu ve
srovnatelném měřítku. Využívá se pro porovnání variabilit většího počtu u znaků, které často
nabývají nejen rozdílné úrovně hodnot, ale jsou i v rozdílných jednotkách.
2
2
i2
x
n
x
−=
∑σ 1n
n
)x(
Σx
S
2
i2
i
2
−
Σ
−
=
14
Poznámka: pro statistické výpočty je nezbytné využívat vědecký kalkulátor s alespoň
jednorozměrnou statistickou funkcí. Pro ovládání kalkulátoru využijte návod přikládaný
výrobcem.
1.3. Statistické třídění – rozdělení četností
Pod pojmem rozdělení četností chápeme uspořádání dat (hodnot) do skupin za účelem
vyniknutí charakteristické vlastnosti sledovaných jevů. Nejčastěji se při statistickém třídění
spojitých a diskrétních proměnných využívají tzv. četnostní tabulky.
Četnostní tabulky:
Četnostní tabulka diskrétní číselné proměnné zahrnuje:
Absolutní četnosti – hodnoty proměnné se řadí do tabulky od nejmenší k největší, každé
hodnotě se připíše počet statistických jednotek ve výběru s danou hodnotou
Modus – hodnota proměnné s největší četností
Relativní četnosti – poměr četnosti a rozsahu výběru
Relativní četnosti nezávisí na rozsahu výběru, lze porovnávat dva výběry různého rozsahu.
Kumulativní četnosti a kumulativní relativní četnosti – kolik statistických jednotek nebo
jaká část souboru má hodnoty nanejvýše rovné hodnotě, k níž jsou přiřazeny
Četnostní tabulka spojité číselné je principiálně podobná tabulce pro diskrétní proměnné
s následujícími odlišnostmi:
•Hodnoty spojité proměnné se nemusí opakovat, proto se četnosti jednotlivých hodnot se
nahradí četnostmi, patřících do jednotlivých intervalů – intervalové četnosti
•Intervaly volíme stejného rozsahu
•Nízký počet intervalů zkresluje výsledky, příliš vysoký počet intervalů výsledky
znepřehledňuje.
.100%
x
S
Vk =.100%
x
σ
Vk =
15
Při statistickém třídění s využitím četnostních tabulek s výhodou počítáme vážený aritmetický
průměr a vážený rozptyl.
Vážený aritmetický průměr:
Vážený rozptyl
Poznámka: U diskrétní proměnné jsou váhou hodnot proměnné četnosti, u spojité proměnné
jsou váhou hodnot proměnné četnosti ni, vlastní hodnoty xi jsou nahrazeny hodnotou „střed
intervalu“.
Grafické výstupy z četnostních tabulek
Pro znázornění četností u spojitých proměnných se používají histogramy (četnosti se
přiřazují intervalům). Pro znázornění četností u diskrétních proměnných se používají
polygony (četnosti se přiřazují jednotlivým hodnotám).
Shrnutí kapitoly
V kapitole byly vysvětleny základní statistické pojmy a nejzajímavější historické mezníky.
Z práce ČSÚ vyplývá, že statistika nás provází dnes a denně doslova na každém kroku.
Podmínkou úspěšného řešení statistických výpočtů je získávání kvalitních výběrových dat
v dostatečném množství. Na základě zásadních statistických výpočtů lze popsat data získaná
statistickým šetřením základními statistickými charakteristikami a je možné tato data dále
hlouběji analyzovat. Rovněž statistické třídění, sestrojování četnostních tabulek, je nedílnou
součástí před hlubší analýzou dat nadstavbovými statistickými metodami.
Pojmy k zapamatování:
2
i
ii
i
2
i
Σn
xΣn
Σn
xΣn i






−=
i
i
Σn
xΣn i
=
16
Hromadný jev, statistický soubor, statistické šetření a třídění, proměnná, normované normální
rozdělení, rozsah souboru, míry polohy (aritmetický průměr, kvantil, modus, medián), míry
variability (variační a mezikvartilové rozpětí, rozptyl, směrodatná odchylka, variační
koeficient), četnostní tabulky spojité a diskrétní proměnné, histogram a polygon.
Úkoly k zopakování a procvičení
Příklad 1.1.
Historie statistiky na území České republiky se datuje od:
a) středověku
b) novověku
c) 20 století
Řešení: a
Hlavní sídlo Českého statistického úřadu se nachází:
a) ve Zlíně
b) v Ostravě
c) v Praze
Řešení: c
Modus je:
a) hodnota nejčastěji se v souboru vyskytující
b) střední hodnota kvantitativního statistického znaku
c) prostřední hodnota kvantitativního statistického znaku
Řešení: a
Příklad 1.2.:
Rozhodněte, zda uvedené náhodné veličiny jsou diskrétní nebo spojité:
1. Počet servírek na území obce Plzeň
2. Obsah vitamínu B v pivu
3. Počet 5* hotelů na území Evropské unie
4. Procentické zastoupení bílkovin v hovězím mase
Řešení:
1. diskrétní proměnná, 2. spojitá proměnná, 3. diskrétní proměnná, 4. spojitá proměnná
17
Příklad 1.3.:
V obchodních řetězcích byla zjišťována cena vepřové plece v Kč. Byly získány následujíce
data:
98,00; 94, 50; 89,50; 101,00; 92,00; 89,50; 90,50.
Určete typ souboru a proměnné, minimální a maximální hodnotu a vypočítejte aritmetický
průměr, modus, medián, dolní kvartil, horní kvartil, variační rozpětí, mezikvartilové rozpětí,
směrodatnou odchylku, rozptyl, variační koeficient u daného souboru dat.
Řešení:
Jedná se o výběrový statistický soubor.
Typ proměnné: spojitá proměnná
Uspořádaný výběr:
89,50; 89,50; 90,50;92,00; 94, 50; 98,00; 101,00
Minimum = 89,50
Maximum = 101,00
Dolní kvartil: n/4 = 7/4 = 1,75 → 2 hodnota = 89,50
Horní kvartil: 3n/4 = 21/4 = 5,25 → 6 hodnota = 98,00.
Variační rozpětí: max. – min. = 101,00 – 89,50 = 11,50
Mezikvartilové rozpětí: horní kvartil – dolní kvartil = 98,00 – 89,50 = 8,50
Aritmetický průměr: 93,57,-Kč
Modus: 89,50,-Kč
Medián: 92,00,-Kč
Směrodatná odchylka S: 4,49,-Kč
Rozptyl S2 : 20,12,-Kč2
Variační koeficient Vk: 0,048 = 4,8%
Příklad 1.4.:
Sestavte četnostní tabulku z následujících dat diskrétní proměnné -počty míst k sezení: 2, 4, 4,
8, 2, 2, 4, 4, 4, 3, 6, 2, 4, 4, 3, 4, 4, 8, 6, 4, 3, 8, 1, 2, 1.
Vypočítejte vážený aritmetický průměr a vážený rozptyl.
Řešení:
Uspořádaný výběr: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 8, 8, 8
Četnostní tabulka diskrétní proměnné:
18
Poslední dva sloupce tabulky slouží jako pomocné výpočty pro zjištění váženého
aritmetického průměru a váženého rozptylu. Vážený aritmetický průměr = 3,88 míst, vážený
rozptyl = 3,87míst
2
.
Sestavte četnostní tabulku z následujících dat spojité proměnné – cena zboží v Kč: 15,50;
21,0; 18,50; 16,0; 28,50; 14,50; 24,0; 19,50; 25,50; 16,0; 17,50; 17,0; 29,0; 21,50; 22,0;
11,0;13,0; 24,50;23,50;25,0.
Vypočítejte vážený aritmetický průměr a vážený rozptyl.
Řešení:
Uspořádaný výběr: 11,0; 13,0; 14,50; 15,50; 16,0; 16,0; 17,0; 17,50; 18,50; 19,50; 21,0;
21,50; 22,0; 23,50; 24,0; 24,50; 25,0; 25,50; 28,50; 29,0
Četnostní tabulka spojité proměnné:
Hodnota
xi
Četnost
ni
Relativní
četnost
ni/n
Kumul.
četnost
Kumu.
relativní
četnost
nixi nixi
2
1 2 2/25=0,08 2 0,08 1.2=2 1.2=2
2 5 5/25=0,20 2+5=7 0,28 2.5=10 4.5=20
3 3 3/25=0,12 7+3=10 0,40 3.3=9 9.3=27
4 10 10/25=0,40 10+10=20 0,80 4.10=40 16.10=160
6 2 2/25=0,08 20+2=22 0,88 6.2=12 36.2=72
8 3 3/25=0,12 22+3=25 1 8.3=24 64.3=192
Σ n=25 1 97 473
Hodnota
xi
Četnost
ni
Relativní
četnost
ni/n
Kumul.
četnost
Kumu.
relativní
četnost
nixi nixi
2
1 2 2/25=0,08 2 0,08 1.2=2 1.2=2
2 5 5/25=0,20 2+5=7 0,28 2.5=10 4.5=20
3 3 3/25=0,12 7+3=10 0,40 3.3=9 9.3=27
4 10 10/25=0,40 10+10=20 0,80 4.10=40 16.10=160
6 2 2/25=0,08 20+2=22 0,88 6.2=12 36.2=72
8 3 3/25=0,12 22+3=25 1 8.3=24 64.3=192
Σ n=25 1 97 473
Dolní
mez
<
Horní
mez
)
Střed
intervalu
xi
Četnost
ni
nixi nixi
2
10,0 15,0 12,5 3 3.12,5=37,5 468,75
15,0 20,0 17,5 7 7.17,5=122,5 2143,75
20,0 25,0 22,5 6 6.22,5=135,0 3037,50
25,0 30,0 27,5 4 4.27,5=110,0 3025,00
- - - Σ20 Σ405,0 Σ8675,00
Dolní
mez
<
Horní
mez
)
Střed
intervalu
xi
Četnost
ni
nixi nixi
2
10,0 15,0 12,5 3 3.12,5=37,5 468,75
15,0 20,0 17,5 7 7.17,5=122,5 2143,75
20,0 25,0 22,5 6 6.22,5=135,0 3037,50
25,0 30,0 27,5 4 4.27,5=110,0 3025,00
- - - Σ20 Σ405,0 Σ8675,00
19
Poslední dva sloupce tabulky slouží jako pomocné výpočty pro zjištění váženého
aritmetického průměru a váženého rozptylu. Vážený aritmetický průměr = 20,25,-Kč, vážený
rozptyl =. 23,69,-Kč
2
.
Hodnocení
Každá správná odpověď nebo výsledek výpočtu je hodnoceno jedním bodem.
Sebehodnocením je žádoucí dosáhnout alespoň 70% úspěšnost správných odpovědí, výsledků
výpočtů. Jestliže jste nedosáhli požadované úspěšnosti, pokuste se zlepšit svůj studijní
výsledek pozornějším studiem kapitoly, popřípadě se spojit s tutorem předmětu.
Další studijní zdroje
http://new.euromise.org/czech/tajne/ucebnice/html/html/node9.html
http://www.economics.soton.ac.uk/staff/aldrich/Figures.htm
http://www.czso.cz/
Korespondenční úkol
Následující korespondenční úkoly přinese student na následující soustředění (soustředění číslo
2). Korespondenční úkoly jsou rovněž umístěny v odpovědníku IS VŠH. S hodnocením se
student seznámí během tutoriálu. Je požadována 70% úspěšnost v řešených úkolech.
Příklad:
Byly získány následující data výběrového statistického souboru – jedná se o ceny zboží v Kč:
15,70; 16,30; 16,90; 16,90; 16,90; 17,00; 17,00; 18,00; 18,30; 19,50; 19,60; 19,90; 20,50;
20,50; 21,40; 21,80; 22,10.
Určete typ souboru a proměnné, minimální a maximální hodnotu a vypočítejte aritmetický
průměr, modus, medián, dolní kvartil, horní kvartil, variační rozpětí, mezikvartilové rozpětí,
směrodatnou odchylku, rozptyl, variační koeficient u daného souboru dat. Jednotlivé
statistické charakteristiky slovně okomentujte.
Sestrojte četnostní tabulku a vypočítejte vážený aritmetický průměr a vážený rozptyl.
Sestavte vhodný grafický výstup z četnostní tabulky.
20
2. Modul
Modul tvoří tři tématické okruhy. Každý je probírán samostatně, jako kapitola v učebním
materiálu.
Tématické okruhy:
2.1. Metody zkoumání závislosti
2.2. Kontingenční koeficienty, koeficient asociace
2.3. Regresní a korelační analýza
Studijní cíle
V této kapitole se studenti seznámí se zásadními metodami zkoumání závislosti. Upřesní si
pojmy závisle a nezávisle proměnné. Kromě orientačních metodických výpočtů koeficientů
kontingence a asociace se studenti seznámí se základy stěžejní statistické metody a to regresní
a korelační analýzy. Uvedená metoda je vysvětlena na klasickém lineárním modelu. Rovněž
jsou uvedeny a vysvětleny metody hodnocení těsnosti závislosti a další doplňkové definice
vztahující se k této, v praxi často využívané, problematice.
Klíčová slova: závisle a nezávisle proměnná, dvojrozměrné tabulky, kontingenční koeficient,
koeficient asociace, regrese a korelace, regresní přímka, korelační koeficient, koeficient
determinace, index determinace
2.1. Metody zkoumání závislosti
Při zkoumání závislosti mezi proměnnými je nejdříve nutné posoudit, zda závislost existuje,
tedy lze-li vysvětlovat změny hodnot jedné proměnné –vysvětlované = závisle proměnné,
změnami hodnot proměnné druhé – vysvětlující = nezávisle proměnné.
U systému dvou proměnných obecně platí následující symbolika:
x – nezávisle proměnná (vysvětlující proměnná)
y – závisle proměnná (vysvětlovaná proměnná)
Typy závislostí dvou proměnných:
Jednostranná závislost – závisle proměnnou může být pouze jedna z řešených
proměnných (závislost velikosti mzdy na počtu odpracovaných hodin).Vzájemná závislost –
21
obě proměnné lze volit za závisle nebo nezávisle proměnnou (výdaje domácnosti na cestování
a na vzdělání).
Síla závislosti
Mezi proměnnými se zkoumá síla – těsnost závislosti. Závislost lze považovat za silnou –
velmi těsnou, jestliže změny hodnot jedné proměnné jsou plně vysvětlitelné změnami druhé
proměnné. Síla závislosti se popisuje různými koeficienty.Při nezávislosti proměnných jsou
hodnoty koeficientů rovné nule, s růstem závislosti rostou jejich absolutní hodnoty
(maximální hodnotou je jednička).
Dvojrozměrné tabulky
Naměřené (zjištěné) údaje – hodnoty závisle a nezávisle proměnné se uspořádávají do
dvojrozměrné tabulky. V záhlaví tabulek se uvedou hodnoty proměnných, buňky tabulek
obsahují četnosti kombinací obou proměnných (sdružené četnosti). Tabulky se doplňují
součty za řádky a za sloupce (okrajové četnosti).
Můžeme rozlišit dva typy dvojrozměrných tabulek:
• Kontingenční tabulky – dvojrozměrná tabulka slovních proměnných.
• Korelační tabulky – dvojrozměrné tabulky číselných proměnných.
Příklad kontingenční tabulky s rozsahem souboru n = 130:
Spokojenost
s novým
vozidlem
Věková
kategorie
Ano Ne Celkem
ΣΣΣΣ
18 - 40 let 35 12 47
41- 60 let 42 11 53
nad 60 let 16 14 30
Celkem
ΣΣΣΣ
93 37 130
Spokojenost
s novým
vozidlem
Věková
kategorie
Ano Ne Celkem
ΣΣΣΣ
18 - 40 let 35 12 47
41- 60 let 42 11 53
nad 60 let 16 14 30
Celkem
ΣΣΣΣ
93 37 130
22
2.2. Kontingenční koeficienty, koeficient asociace
Kontingenční koeficienty se používají k měření závislosti. Některé kontingenční koeficienty
jsou založeny na výpočtu hodnoty χ2
(čti chí-kvadrát):
Výpočet hodnoty χ2
:
s – sdružené četnosti
e - teoreticky očekávané četnosti, za předpokladu nezávislosti proměnných.
e = (součet četností řádku . součet četností sloupce) / rozsah výběru n
Koeficient asociace
Asociační závislost stanovujeme mezi kvalitativními znaky .
Typicky se analýza asociace provádí pro dichotomické znaky, což jsou znaky, které
principiálně nabývají pouze dvou hodnot, (ano, ne) a které se navzájem vylučují.
Asociační výpočet má za úkol:
• ze známých variant jednoho znaku odhadnout varianty znaku druhého.
2
2
e
e)(s
χ
−
∑=
23
• změřit intenzitu (stupeň těsnosti) vlastní asociace.
Hodnoceni koeficientu asociace:RA ∈<-1;1>; přímá závislost: RA > 0,
nepřímá závislost: RA < 0, nezávislost RA = 0.
Čím více se hodnota RA blíží k 1, tím je asociace silnější. Formálně se jedná o koeficient
korelace pro 0,1 hodnoty proměnných.Asociační tabulka obsahuje četnosti výskytu
jednotlivých kombinací uspořádané do čtyřpolní tabulky. Je to tedy speciální případ
kontingenční tabulky typu 2x2 .
Příklad asociační tabulky:
(ab); (aβ); (αb); (αβ) – sdružené četnosti
(a); (α); (b); (β) – okrajové četnosti
n – rozsah souboru
Výpočet koeficientu asociace RA:
24
2.3. Regresní a korelační analýza
Regresní analýzou zkoumáme průběh a korelační analýzou zkoumáme těsnost
závislosti mezi kvantitativními znaky - vztahy závisle proměnných (y) na nezávisle
proměnných (x).
Před každým výpočtem, je nezbytné se ujistit, že mezi proměnnými závislost existuje!
Regrese je vyjádřena matematickou funkcí, která udává vlastní průměrný průběh
sledované závislosti mezi proměnnými x a y. Parametry regresní funkce jsou počítány.
Před vlastním výpočtem regresní funkce je nutno zvolit vhodný typ funkce pro
vyjádření průměrného průběhu závislosti.
Základním modelem je lineární regrese, kde matematickou funkcí je přímky s obecnou
rovnicí y = a + bx.
Data, získaná statistickým šetřením, vytvářejí uspořádané dvojice [x; y]. Jednotlivé body se
vynášejí do pravoúhlého osového systému a vzniká tak tzv. korelační pole.
Příklad korelačního pole:
25
U lineárních regresních funkcí, kam řadíme rovněž přímku, se číselné hodnoty parametrů
počítají metodou nejmenších čtverců. (Detailní postup této metody nespadá do rámce
předmětu statistika pro bakalářské studium. Zájemci se o metodě mohou dozvědět více
v doporučené literatuře).
Výpočet parametrů regresní přímky
Níže uvedené pracovní vzorce jsou výstupem metody nejmenších čtverců a umožňují výpočet
parametrů a, b regresní přímky s obecnou rovnicí y = a + bx.
b- regresní koeficient - udává, o kolik se v průměru změní hodnota závisle proměnné yi v
rovnici, jestliže hodnotu nezávisle proměnné xi zvýšíme o jednotku. Znaménko před
hodnotou regresního koeficientu určuje průběh funkce. Je-li b kladné číslo, funkce je
lineárně rostoucí, je-li b záporné číslo, funkce je lineárně klesající. Regresní koeficient je
směrnicí přímky.
26
Korelační analýza
Pro hodnocení těsnosti lineární závislosti mezi proměnnými x, y, vyjádřené regresní funkcí
například rovnicí přímky y = a + bx, je používán koeficient korelace - r.Koeficient
korelace může nabývat hodnot z uzavřeného intervalu od (-1) do (+1), tj. r ∈ <-1;+1>.
Znaménko před hodnotou korelačního koeficientu (stejně jako před hodnotou regresního
koeficientu) určuje směr závislosti. Je-li r kladné číslo, je regresní funkce lineárně rostoucí,
mezi proměnnými x, y je přímo úměrná závislost. Je-li r záporné číslo, je regresní funkce
lineárně klesající, mezi proměnnými x, y je nepřímo úměrná závislost.
Poznámka: Znaménko před hodnotou regresního a korelačního koeficientu se vždy shoduje.
27
Absolutní hodnota korelačního koeficientu |r| udává těsnost hodnocené závislosti. Čím je
absolutní hodnota koeficientu korelace blíže k 1, tím je závislost silnější. Závislost lze
hodnotit podle 3-5 bodové stupnice:
r = 0 – závislost neexistuje
|r| ∈ (0; 0,3) - slabá závislost
|r| ∈ <0,3; 0,6) - střední závislost
|r| ∈ <0,6; 0,8) – silná (těsná závislost)
|r| ∈ <0,8; 1) – velmi silná (velmi těsná závislost)
|r| = 1 – perfektní závislost
Pracovní tvar vzorce pro výpočet korelačního koeficientu:
xi ; yi - proměnné
n - počet uspořádaných dvojic [xi;yi]
[ ] [ ]2
i
2
i
2
i
2
i
iiii
)y(yn.)x(xn
yxyxn
r
∑−∑∑−∑
∑∑−∑
=
28
Pro výpočet korelačního koeficientu lze využít i následující vzorec:
Výsledky výpočtu hodnoty r, za použití obou výše uvedených rovnocenných vzorců, jsou
vždy shodné.
Koeficient determinace - r2 Je druhou mocninou hodnoty koeficientu korelace. Koeficient
determinace vyjádřený v procentech (r2.100%) udává, z kolika procent jsou změny hodnot
závisle proměnné y v regresní rovnici vysvětlovány hodnotami nezávisle proměnné x.
Index determinace
I2 hodnotí kvalitu regresního modelu. Udává kolik procent rozptylu závisle (vysvětlované)
proměnné y je vysvětleno modelem a kolik zůstalo nevysvětleno. Nabývá hodnot od nuly do
jedné (teoreticky i včetně těchto krajních mezí), přičemž hodnoty blízké nule značí špatnou
kvalitu regresního modelu; hodnoty blízké jedné značí dobrou kvalitu regresního
modelu. Index determinace se udává se většinou v procentech.
Shrnutí kapitoly
V této kapitole byli studenti detailně seznámeni se základními statistickými metodami
zkoumání závislostí a přípravou dat pro tyto statistické analýzy jako je například třídění dat
do dvourozměrných tabulek. Byly nastíněny základní matematicko statistické operace
v oblasti kontingence, asociace a zejména lineární regrese a korelace. Kapitola rovněž ukazuje
práci s náročnějším početními postupy.
Pojmy k zapamatování
Dvojrozměrné statistické tabulky, kontingence, asociace, korelační pole, regrese, rovnice
přímky, lineární regrese, metoda nejmenších čtverců, korelace, koeficient korelace, hodnocení
těsnosti závislosti, koeficient determinace, index determinace.
yrozptyl.xrozptyl
xykovariance
r = y.x
n
yΣx
xykovariancekde, ii
−=
29
Úkoly k zopakování a procvičení
Příklad 2.1.
Uveďte příklady koeficientů, které se ve statistické praxi užívají pro hodnocení těsnosti
závislosti.
Řešení: Cramerův kontingenční koeficient, Pearsonův kontingenční koeficient, koeficient
asociace, korelační koeficient
Výpočet Cramerova kontingenčního koeficientu je založen na hodnotě:
a) aritmetického průměru
b) χ2
(chí-kvadrát)
c) směrodatné odchylky
Řešení: b
30
Příklad 2.2.
Byla sledována závislost spokojenosti hostů se službami bazénového baru hotelu na jejich
věku. Na základě výpočtu Pearsonova a Cramerova kontingenčního koeficientu určete
těsnost závislosti. Zdrojová data jsou uvedena v následující tabulce:
Řešení:
Nejdříve je nutné vypočítat okrajové četnosti.
Dále je nutné vypočítat teoreticky očekávané četnosti e, kdy spokojenost hosta nebude záviset
na jejich věku (četnosti odpovědí za předpokladu nezávislosti obou proměnných).
e = (Součet četností řádku.součet četností sloupce) / rozsah výběru n
s - skutečně zjištěné četnosti
Spokojenost
Věk
Ano Ne Celkem
ΣΣΣΣ
Do 45 let 25 7
Nad 45 let 12 21
Celkem
ΣΣΣΣ
Spokojenost
Věk
Ano Ne Celkem
ΣΣΣΣ
Do 45 let 25 7
Nad 45 let 12 21
Celkem
ΣΣΣΣ
Spokojenost
Věk
Ano Ne Celkem
ΣΣΣΣ
Do 45 let 25 7 32
Nad 45 let 12 21 33
Celkem
ΣΣΣΣ
37 28 65
Spokojenost
Věk
Ano Ne Celkem
ΣΣΣΣ
Do 45 let 25 7 32
Nad 45 let 12 21 33
Celkem
ΣΣΣΣ
37 28 65
31
e - teoretické sdružené četnosti – spokojenost hosta nezávisí na jeho věku e= (Součet četností
řádku.součet četností sloupce) / rozsah výběru n
Spokojenost
Věk
Ano - s
(e)
Ne - s
(e)
Celkem
ΣΣΣΣ
Do 45 let 25
(18,215)
7
(13,785)
32
Nad 45 let 12
(18,785)
21
(14,215)
33
Celkem
ΣΣΣΣ
37 28 65
Spokojenost
Věk
Ano - s
(e)
Ne - s
(e)
Celkem
ΣΣΣΣ
Do 45 let 25
(18,215)
7
(13,785)
32
Nad 45 let 12
(18,785)
21
(14,215)
33
Celkem
ΣΣΣΣ
37 28 65 n=65
χχχχ2 = 2,527+3,340+2,451+3,239 = 11,557
32
Vypočítané hodnoty obou kontingenčních koeficientů svědčí o střední závislosti
studovaných proměnných. Spokojenost hostů s bazénovým barem středně závisí na jejich
věku.
Příklad 2.3.:
Byla studována závislost mezi spokojeností hostů se stravováním a s čistotou v hotelu.
Celkem bylo osloveno 20 hostů. Vypočítejte hodnotu koeficientu asociace a okomentujte
těsnost závislosti Data (odpovědi) jsou shrnuty v kontingenční tabulce:
Řešení:
0,389
6511,557
11,557
P =
+
= 0,422
65.1
11,557
V ==
Čistota
Stravování
Ano Ne Celkem
Ano 11 1 12
Ne 5 3 8
Celkem 16 4 20
Čistota
Stravování
Ano Ne Celkem
Ano 11 1 12
Ne 5 3 8
Celkem 16 4 20
0,36
78,38
28
6144
28
12.16.8.4
12.1620.11
RA ===
−
=
33
Závislost mezi spokojeností hostů se stravováním a čistotou je slabá – nepříliš těsná asociační
závislost.
Příklad 2.4.:
Byla studována závislost mezi měsíčním příjmem domácnosti a měsíčními výdaji za
kosmetické výrobky. Předpokládáme, že regresní funkcí je přímka.
Získaná data jsou uvedena v následující tabulce:
Měsíční
příjem
domácnosti
v tisících Kč
15 20 23 26 30 35 40 45
Měsíční
výdaje za
kosmetiku
v tisících Kč
0,6 1,2 2,3 2,4 3,0 3,0 3,6 3,7
Měsíční
příjem
domácnosti
v tisících Kč
15 20 23 26 30 35 40 45
Měsíční
výdaje za
kosmetiku
v tisících Kč
0,6 1,2 2,3 2,4 3,0 3,0 3,6 3,7
34
Určete závisle a nezávisle proměnnou Zakreslete korelační pole
Vypočítejte parametry rovnice funkce
Sestavte rovnici přímky
Vypočítejte odhad, kolik korun měsíčně vydá domácnost s příjmem 29000,-Kč
Vypočítejte hodnotu korelačního koeficientu
Určete těsnost závislosti
Určete typ úměry závislosti
Vypočítejte a okomentujte koeficient determinace
Řešení:
Nezávisle proměnná x – měsíční příjem v domácnosti v Kč
Závisle proměnná y – měsíční výdaje za kosmetiku v Kč
Domácnost s příjmem 29000,-Kč v průměru vydá 2450,-Kč za kosmetiku.
Hodnota korelačního koeficientu r = 0,944 svědčí o velmi silné závislosti průměrných výdajů
za kosmetiku na průměrných příjmech domácnost.
Mezi proměnnými platí přímá úměra.
Změny hodnot závisle proměnné – průměrné měsíční výdaje jsou z 89,19% vysvětlovány
hodnotami nezávisle proměnné – průměrné měsíční příjem.
y = 0,1015x - 493,75
R2
= 0,8919
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
0 10000 20000 30000 40000 50000
Měsíční příjem domácnosti
Měsíčnívýdajezakosmetiku
35
Hodnocení
Každá správná odpověď nebo výsledek výpočtu je hodnoceno jedním bodem.
Sebehodnocením je žádoucí dosáhnout alespoň 70% úspěšnost správných odpovědí, výsledků
výpočtů. Jestliže jste nedosáhli požadované úspěšnosti, pokuste se zlepšit svůj studijní
výsledek pozornějším studiem kapitoly, popřípadě se spojit s tutorem předmětu.
Další studijní zdroje:
http://iastat.vse.cz/
Korespondenční úkol
Následující korespondenční úkoly přinese student na následující soustředění (soustředění číslo
3). Korespondenční úkoly jsou rovněž umístěny v odpovědníku IS VŠH. S hodnocením se
student seznámí během tutoriálu. Je požadována 70% úspěšnost v řešených úkolech.
36
Příklad:
Byla sledována závislost spokojenosti hostů hotelu na jejich vzdělání. Na základě výpočtu
Cramerova a Pearsonova kontingenčního koeficientu určete těsnost závislosti. Data jsou
uvedena v následující tabulce.
Spokojenost
Vzdělání
Ano Ne Celkem
Středoškolské 10 5
Vysokoškolské 15 8
Celkem
Příklad
Byla studována závislost velikosti tržby v milionech Kč na počtu hotelových hostů. Data jsou
uvedena v následující tabulce:
Tržba 5,2 5,8 6,4 6,5 6,8 7,0 7,3 7,5 7,8 8,1
Počet
hostů
250 300 330 336 350 359 369 375 383 390
a) Určete závisle a nezávisle proměnnou
b) Zakreslete korelační pole
c) Vypočítejte parametry rovnice funkce
d) Sestavte rovnici přímky
e) Vypočítejte, jaká je tržba, jestliže byl počet hotelových hostů 370
f) Vypočítejte hodnotu korelačního koeficientu
g) Určete těsnost závislosti
h) Určete typ úměry závislosti
i) Vypočítejte a okomentujte koeficient determinace
37
3. Modul
Modul tvoří tři tématické okruhy. Každý je probírán samostatně, jako kapitola v učebním
materiálu.
Tématické okruhy:
3.1. Absolutní přírůstek a index
3.2 Indexní řady
3.3. Souhrnné indexy
Studijní cíle
V závěrečné kapitole se studenti seznámí se zásadní terminologií a statistickými výpočty
z problematiky absolutních přírůstků a indexů, kde nedílnou součástí kapitoly je rovněž
klasifikace indexů. Pracovní tvary vzorců jsou, z důvodů snadnější orientaci studenta
v problematice, detailně rozepsány. Kapitola řeší rovněž problematiku indexních řad a
postupových možností práce s pouze bazickými nebo pouze řetězovými indexy. Ze
složitějších metod jsou uvedeny zásady v klasifikaci a výpočtových postupech v oblasti
souhrnných indexů s důrazem na agregátní cenové indexy.
Klíčová slova: absolutní přírůstek, index, klasifikace indexů, indexy množství, indexy
úrovně, extenzitní ukazatel, intenzitní ukazatel, individuální indexy, indexní řady, souhrnné
indexy ( Laspeyresův, Paascheho, Fisherův souhrnný index ), vážený průměr, cenový index
3.1. Absolutní přírůstek a index
Starší období = základní období (základ pro porovnávání)
Porovnávané období = běžné období
Absolutní přírůstek ∆∆∆∆ = rozdíl mezi dvěma časovými ukazateli – o kolik jednotek se změní
(+zvětší, -zmenší) hodnota v běžném období oproti základnímu období
Index I = podíl mezi dvěma ukazateli – kolik procent hodnoty základního období činí
hodnota běžného období
Indexy a absolutní přírůstky se vzájemně doplňují a měly by být uváděny společně.
38
Klasifikace indexů
Indexy množství – porovnávají hodnoty extenzitních ukazatelů - q, tj. ukazatelů vyjadřujících
množství, velikost, objem ( počet hostů, tržba, prodané množství zboží určitého druhu)
Indexy úrovně – porovnávají hodnoty intenzitních ukazatelů - p, tj ukazatelů vyjadřujících
úroveň, hladinu, intenzitu (cena, tržba na pracovníka)
Každý intenzitní ukazatel je poměrem ukazatelů extenzitních:
Tržba na pracovníka = tržba / počet pracovníků
Jmenovatel je extenzivní ukazatel - nositel intenzity
Indexy lze rovněž rozdělit na:
Indexy individuální
Indexy souhrnné
Individuální indexy – indexy stejnorodých ukazatelů
a) dílčí hodnoty lze druhově a prostorově shrnout součtem – extenzitní ukazatele (počet hostů
restaurací řetězce „Eurest“)
b) dílčí ukazatele lze druhově a prostorově shrnout průměrem – intenzitní ukazatele (cena
0,5l piva v hotelech „Holiday Inn“)
Souhrnné indexy – popisují změny množství či úrovně v celku, složeném z nestejnorodých
částí (změna ceny mléčných výrobků v síti „Tesco“)
Jednoduchý index množství:
Symbolika:
Základní období q0Běžné období q1
I (qi) = q1i/q0i
Odpovídající absolutní přírůstek: ∆ (qi) = q1i- q0i
Složený index množství:- je váženým průměrem jednoduchých indexů, váhou jsou dílčí
hodnoty ze základního období q0iI (Σqi) = Σq1i/Σq0iOdpovídající absolutní přírůstek:
∆ (Σqi) = Σq1i-Σq0i
- je součtem jednoduchých absolutních přírůstků
39
Individuální jednoduché indexy úrovně
Každý intenzitní ukazatel je poměrem ukazatelů extenzitních:
p = Q/q
p - intenzitní ukazatel
Q - extenzitní ukazatel
q - extenzitní ukazatel nositel intenzity
Q = pq
Intenzitní ukazatel je stejnorodý jsou-li stejnorodé oba extenzitní ukazatele Q, q (jejich dílčí
hodnoty lze sčítat).
Dílčí hodnoty stejnorodého intenzitního ukazatele pi = Qi/qi lze shrnout poměrem součtů
dílčích extenzitních ukazatelů ΣSQi/Sqi
Qi=pi.qi ΣQi/Σqi =Σ piqi/Σqi=
Základní období:
Běžné období:
Jednoduchý index úrovně a jemu odpovídající absolutní přírůstek
I(pi) = p1i/p0i∆ (pi) = p1i - p0i
Individuální složené indexy úrovně
Složený index úrovně odráží změny dílčích hodnot ukazatele, ale i změny ve struktuře
nositele intenzity – je indexem proměnlivého složení
Složený index úrovně a jemu odpovídající absolutní přírůstek:
p
0
0
0
q
Q
p
∑
∑
=
1
1
1
q
Q
p
∑
∑
=
40
Odpovídající absolutní přírůstek:
0i
0i0i
1i
1i1i
0
1
Σq
qΣp
Σq
qΣp
p
p
)pI( ==
0i
0i0i
1i
1i1i
01
Σq
qΣp
Σq
qΣp
pp)p∆( −=−=
41
3.2. Indexní řady
Indexní řady jsou tvořeny bazickými a řetězovými indexy.Bazické indexy ukazují změnu
průměrné hodnoty proměnné x (například počet zaměstnanců) ve srovnání s rokem výchozím
– srovnávací období.
Řetězové indexy ukazují jak se změní hodnota proměnné x (například počet pracovníků
pivovarů) ve srovnání s předcházejícím rokem.
Pro období 200n – 200n+i, kde i = 1, 2…, platí pro hodnoty x:
Bazické indexy: x200n/x200n; x200n+1/x200n; x200n+2/x200n….
Řetězové indexy: x200n+1/x200n; x200n+2/x200n+1; x200n+3/x200n+2…
Z řetězových indexů lze vypočítat indexy bazické a naopak:
Řetězové indexy jsou podílem dvou za sebou jdoucích bazických indexů, čitatelem je
bazický index pro vyšší (mladší) ročník.
Bazické indexy lze vypočítat postupným násobením řetězových indexů.
3.3. Souhrnné indexy
Souhrnný index množství
Souhrnný index množství - popisuje změny množství či úrovně v celku, složeném
z nestejnorodých částí. Souhrnný index množství lze vypočítat jako:
•Vážený aritmetický průměr individuálních indexů množství
•Laspeyresův souhrnný index množství
•Paascheho souhrnný index množství
•Fisherův souhrnný index množství
Souhrnný index množství vyjádřený jako vážený aritmetický průměr individuálních indexů
množstvíIq = ΣI(qi)viI(qi) =q1i/q0iI(qi) – individuální index množství
q1i – prodané množství v běžném období
q0i – prodané množství v základním období
vi – „váha“ jednotlivých druhů zboží zvolená tak, aby její součet byl roven jednéLaspeyresův
souhrnný index množstvíIq,L = Σq1ip0i/Σq0ip0iq1i – prodané množství v běžném období
q0i – prodané množství v základním období
42
p0i – cena v základním období
Paascheho souhrnný index množstvíIq,P = Σq1ip1i/Σq0ip1iq1i – prodané množství v běžném
období
q0i – prodané množství v základním období
p1i – cena v běžném období
Fisherův souhrnný index množství
Fisherův souhrnný index množství je geometrickým průměrem indexů Laspeyresova a
Paascheho:
Souhrnné indexy úrovně
Nejčastěji užívané jsou souhrnné indexy cenové.
Souhrnné indexy cenové jako vážené aritmetické průměry individuálních cenových
indexů
Ip = ΣΣΣΣI(pi)vi
I(pi) – individuální cenové indexy
vi - „váhy“, jejichž součet je roven jedné
Index souhrnně charakterizuje změnu cen zboží prodávaného například obchodním řetězcem
– váhou je podíl tržby za jednotlivé druhy zboží na tržbě z prodeje, zjištěné za určité období.
Agregátní cenové indexy:
Prodaná množství za určité období se ocení nejdříve cenami základního a poté cenami
běžného období a výsledky se pak porovnávají Zvolí-li se prodaná množství ze základního
období je indexem Laspeyresův souhrnný cenový index:
Iq,L =Σp1iq0i/Σp0iq0iZvolí-li se prodaná množství z běžného období je indexem Paascheho
cenový index:
Iq,P =Σp1iq1i/Σp0iq1iKombinací je Fisherův souhrnný cenový index
Pq,Lq,Fq, .III =
43
Shrnutí kapitoly
Poslední kapitola seznámila studenty se zásadami v klasifikaci a výpočtech absolutních
přírůstků a indexů využívaných v ekonomické praxi. Detailní výklady vzorců umožňují
studentovi realizovat výpočty ze zdrojových dat získaných statistickým šetřením a aplikovat
dané výstupy v navazujících studijních úkolech. Student je podrobně seznámen
s problematikou a praktickým využitím indexních řad. V závěru kapitoly je řešena náročná
problematika souhrnných indexů s uvedením zásadních postupových výpočtů. Pozornost je
věnována rovněž agregátním cenovým indexům.
Pojmy k zapamatování
Absolutní přírůstek, index, základní a běžné období, extenzitní a intenzitní ukazatel, nositel
intenzity, individuální a souhrnný index, indexní řady, bazický a řetězový index, vážený
aritmetický průměr, Laspeyresův, Paascheho, Fisherův souhrnný index, cenový index
Úkoly k zopakování a procvičení
Příklad: 3.1.
Indexy množství porovnávají hodnoty:
a) extenzitních ukazatelů
b) intenzitních ukazatelů
c) absolutních přírůstků
Řešení: a
44
Příklad 3.2.:
Byl studován počet hostů v pěti hotelech ve dvou po sobě jdoucích letech. Zjištěné hodnoty
jsou uvedeny v tabulce:
Vypočítejte:-jednoduché absolutní přírůstky a indexy
-složený absolutní přírůstek a index
Dokažte, že složený index je váženým aritmetickým průměrem jednoduchých indexůŘešení:
Hotel Počet hostů
v roce 200n
Počet hostů
v roce
200n+1
Absolutní
přírůstky ∆∆∆∆ (qi)
Indexy
I (qi)
Aida 721 895
Bílý Lev 452 521
Libuše 529 498
Platan 890 948
U Staré Paní 356 326
Všechny
hotely
Hotel Počet hostů
v roce 200n
Počet hostů
v roce
200n+1
Absolutní
přírůstky ∆∆∆∆ (qi)
Indexy
I (qi)
Aida 721 895
Bílý Lev 452 521
Libuše 529 498
Platan 890 948
U Staré Paní 356 326
Všechny
hotely
Hotel Počet hostů
v roce 200n
q0i
Počet hostů
v roce
200n+1
q1i
Absolutní
přírůstky ∆∆∆∆ qi)
Indexy
I (qi)
Aida 721 895 174 1,24
Bílý Lev 452 521 69 1,15
Libuše 529 498 -31 0,94
Platan 890 948 58 1,07
U Staré Paní 356 326 -30 0,92
Všechny
hotely
2948 3188 240 1,08
Hotel Počet hostů
v roce 200n
q0i
Počet hostů
v roce
200n+1
q1i
Absolutní
přírůstky ∆∆∆∆ qi)
Indexy
I (qi)
Aida 721 895 174 1,24
Bílý Lev 452 521 69 1,15
Libuše 529 498 -31 0,94
Platan 890 948 58 1,07
U Staré Paní 356 326 -30 0,92
Všechny
hotely
2948 3188 240 1,08
45
Složený absolutní přírůstek = 240
Složený absolutní index = 1,08
Důkaz:
Složený absolutní přírůstek je součtem jednoduchých absolutních přírůstků: 240 = 3188 -
2948 = 174+69-31+58-30.
Příklad 3.3.
Byly zjištěny průměrné počty zaměstnanců pivovarů v České republice v posledních pěti
letech. Z následujících hodnot uvedených v tabulce sestavte bazické a řetězové indexy. Pro
bazické indexy zvolte základ ročník 200n. Vysvětlete význam obou typů indexů.
Řešení:
Bazické indexy ukazují změnu průměrného počtu zaměstnanců ve srovnání s rokem 200n.
Řetězové indexy ukazují jak se změnil počet pracovníků pivovarů ve srovnání
s předcházejícím rokem.
Ročník Počet
zaměstnanců -x
Indexy bazické Indexy řetězové
200n 6932
200n+1 6280
200n+2 6364
200n+3 7205
200n+4 7186
46
Příklad 3.4:
V odborné literatuře byly publikovány bazické indexy pro období 200n-200n+4 pro počty
pokojských v penzionech:
1,00; 1,15; 1,07; 0,96; 1,11. Vypočítejte hodnoty řetězových indexů.Řešení:
Řetězové indexy jsou podílem dvou za sebou jdoucích bazických indexů, čitatelem je bazický
index pro vyšší ročník.
Hledané řetězové indexy:
200n: -; 200n+1: 1,15/1 = 1,15; 200n+2:1,07/1,15 = 0,93; 200n+3:0,96/1,07 = 0,90;
200n+4:1,11/0,96 = 1,16
Hodnocení
Každá správná odpověď nebo výsledek výpočtu je hodnoceno jedním bodem.
Sebehodnocením je žádoucí dosáhnout alespoň 70% úspěšnost správných odpovědí, výsledků
výpočtů. Jestliže jste nedosáhli požadované úspěšnosti, pokuste se zlepšit svůj studijní
výsledek pozornějším studiem kapitoly, popřípadě se spojit s tutorem předmětu.
Další studijní zdroje:
Hindls, R., Hronová, S., Seger, J.: Statistika pro ekonomy. Professional Publishing, Praha
2002, druhé vydání, ISBN 80-86419-30-4
Korespondenční úkol
Následující korespondenční úkoly odešle student do odevzdávárny. Korespondenční úkoly
jsou rovněž umístěny v odpovědníku IS VŠH. S hodnocením se student seznámí na základě
elektronické komunikace případně konzultace. Je požadována 70% úspěšnost v řešených
úkolech.
Příklad:
Průměrná délka pobytu hosta v penzionu ve dnech (p) je poměrem celkového počtu
pobytových dnů (Q) a počtu hostů (q). Zjištěné hodnoty za dva roky jdoucí po sobě jsou
uvedeny v následující tabulce:
47
Vypočítejte:
a) jednoduché absolutní přírůstky a indexy
b) složený absolutní přírůstek a indexPříklad
Ve sborníku byly publikovány řetězové indexy pro období 200n-200n+4 pro počet kuchařů
v závodních podnikových jídelnách: -; 0,98; 1,05; 1,19; 0,91. Vypočítejte hodnoty bazických
indexů.
Penzion Pobytové
dny
Počet
hostů
Délka
pobytu
hosta
Přírůstek
délky
pobytu
Index
délky
pobytu
Q0i Q1i q0i q1i p0i p1i ∆(pi) I(pi)
Babka 1950 2390 490 580
Merlin 2980 2650 489 434
Oba
penziony
Penzion Pobytové
dny
Počet
hostů
Délka
pobytu
hosta
Přírůstek
délky
pobytu
Index
délky
pobytu
Q0i Q1i q0i q1i p0i p1i ∆(pi) I(pi)
Babka 1950 2390 490 580
Merlin 2980 2650 489 434
Oba
penziony
48
B) ČÁST MATEMATIKA
Obsahová náplň předmětu MT003 část matematika
Obsahová náplň matematické části předmětu:
1. Vybrané kapitoly z elementární matematiky – výroky, množiny, algebra reálných čísel,
rovnice, nerovnice, reálné funkce – základní vlastnosti, funkce elementární.
2. Zavedení pojmu derivace a integrálu, jejich aplikace.
3. Elementy pravděpodobnosti.
Cíle výuky matematické části:
Úkolem výuky matematiky na vysokých školách ekonomického a technického
zaměření je jednak rozvíjet logické a analytické myšlení studenta a dále poukázat na možnosti
aplikace matematiky při kvantitativním popisu zákonitostí v různých ekonomických
disciplínách a statistice v rozsahu, který se vyučuje na VŠH. Cílem výuky matematické části
předmětu jsou následující oblasti:
a) Stanovit rozsah, zopakovat a případné rozšířit tu část elementární matematiky, jejíž
znalost je nezbytná ve výuce ostatních předmětů ekonomického zaměření a statistiky.
(S touto problematikou se student již setkal prakticky na všech typech středních škol.
Jedná se tedy z velké části o opakování látky ze střední školy. V dostatečném rozsahu je
požadované učivo obsaženo v kap. 1, 2, 3 a 4 publ. (Malec, 2007), dále jen skripta.
b) Seznámit studenta s pojmem derivace a integrál a jejich aplikacemi. Zde je situace
složitější. Většina studentů VŠH se s těmito pojmy na střední škole nesetkala, jedná se o
obtížnější látku vyžadující hlubší a časově náročné studium. Přihlédneme-li k zaměření
studia na VŠH a hodinovému rozsahu předmětu, je nutné volit intuitivní přístup
k výkladu látky založený na názorném probírání látky a jednoduchých možnostech
aplikace. Učivo je obsaženo v kap. 5 a 6 skript.
c) Elementy pravděpodobnosti. Probírané učivo je matematickým úvodem ke studiu
statistických metod, probíraných ve druhé části předmětu, ale i předmětu Kvantitativní
metody ve studiu magisterském. K výkladu popisné statistiky postačí partie
z elementární matematiky. Pokud se ale mají vyložit alespoň základní metody
matematické statistiky, např. popsat vlastnosti výběrových charakteristik, testovat
hypotézy, studovat statistické závislosti náhodných veličin, pak se nabízí dvě možnosti:
Uvedené metody jen formálně popsat (bez odvození a užití matematiky) – pak ale může
49
nastat situace, že při formulaci metody je užito např. pojmu „kvantily normovaného
normálního rozdělení“, kde význam daného sousloví není studentovi znám. Druhou
možností je nejzákladnější pojmy vyložit. Proto je ve skriptech zařazena kap. 7, kde je
diskutována pravděpodobnost náhodného jevu, její vlastnosti a informace o tom, co je to
náhodná veličina a distribuční funkce. Pozornost je věnována normálnímu rozdělení,
které má rozsáhlá uplatnění v aplikačních oblastech.
V kombinovaném studiu je kladen zásadní důraz na samostatné studium (viz
metodický list předmětu MT003). Jednotlivá soustředění odpovídají uvedeným odstavcům
obsahové náplně předmětu.
Výklad látky ve skriptech je názorný, důraz je kladen na základní pojmy a jejich
aplikaci. Publikace obsahuje dostatek řešených příkladů. Při jistém úsilí zvládne probíraná
témata s úspěchem velká část studentů.
Způsob ověření znalostí studentů je následující:
1. Po skončení prvního soustředění proběhne vstupní test z matematiky v rozsahu výuky
probíraného na většině středních škol (25 min.).
2. Na konci druhého soustředění se píše průběžný test (30 min.). Bude obsahovat
jednoduché příklady na aplikaci derivace a integrálu.
3. Po ukončení třetího soustředění se lze přihlásit na závěrečný test (45 min.). Termínů je
k dispozici množství, není nutné skládat zkoušku na prvních termínech. Lépe je zažít
probíranou látku a ponechat si dostatek času na procvičování. Ukázka testů je uvedena
v oddíle zabývajícím se studijními oporami.
Složitější vzorce i znění pouček budou mít studenti na všech uvedených testech k dispozici.
Výsledky testů budou vždy v přiměřeném čase k dispozici na informačním systému VŠH.
Nakonec proběhne ústní zkouška (cca 15 min.), kde předmětem diskuse bude
závěrečné posouzení analytického uvažování studenta. Výsledná klasifikace je stanovena na
základě hodnocení testů a ústní části zkoušky.
Dotazy a diskuse k vstupnímu a průběžnému testu se řeší na konzultacích, resp.
pomocí informačního systému VŠH. Konzultace se konají dvakrát týdně, doba konání je vždy
k dispozici na informačním systému školy. Důraz je kladen na samostatné studium. Uvedená
skripta obsahují probíranou látku a jsou svým obsahem dostatečná. K hlubšímu studiu je
uvedena doporučená literatura. Jedná se o učebnice matematiky a statistiky dlouhodobě
užívané na VŠE Praha.
50
Průvodce studiem matematické části předmětu MT003.
Níže uvedeme přehled základních pojmů, jejich vlastnosti a použití té části základů
matematiky, která je obsahem předmětu a kterou je třeba zvládnout pro úspěšné vykonání
dílčí zkoušky. Probíraná látka patří k základním informacím, které by měl student vysoké
školy zvládat. Téma je v podstatě totožné s obsahem skript.
Ad 1. Vybrané kapitoly z elementární matematiky – viz skripta, kap. 1, 2,3 a 4
Výrok, výrok složený. Jedná se o elementy matematické logiky. Je nutné zcela
rozumět logickým operacím ⋁, mezi dvěma výroky A a B.
Např. formulaci: pro libovolná reálná čísla a a b platí a.b = 0 ⇔ a = 0 ⋁ b = 0; je-li
b ≠ 0, pak = 0 ⇔ a = 0.
Množina, operace s množinami. Označení např. a ϵ M.
Algebra reálných čísel. Samozřejmostí je počítání se zlomky, kde je nutné mít na
paměti, že = 0, neexistuje. Dále 109
je miliarda, 10-9
= je číslo blízké nule, a0
= 1. Pro
a ≠ 0 platí = , n ϵ N. Znát definice n-té odmocniny a vzorce pro počítání s mocninami a
odmocninami, tj. = , je-li a ≥ 0, pak rovnice x2
= a má řešení x = ± . Statistická část
předpokládá znalost počítání se sumačním symbolem ∑: a1 + a2 + … + an = . Zřejmě
platí = + .
Příklad. Jsou dány dva soubory dat Jejich kovariance
je dána vzorcem kde a jsou jejich aritmetické průměry.
Úpravou dostáváme
tj. výpočtový vzorec pro
kovarianci.
Reálné funkce. Definice funkce, její definiční obor – zápis
Konstrukce bodu v souřadném systému. Graf funkce, obor hodnot
Každá přímka rovnoběžná s osou y, která prochází na ose x číslem protíná
graf funkce právě v jednom bodě.
Elementární funkce. Jedná se o základní funkce, které se nejčastěji vyskytují
v různých aplikacích, kde lze pozorovat nějakou funkční závislost mezi sledovanými
veličinami. Elementární funkce jsou dány jednoduchým analytickým tvarem, tj. vzorcem,
jejich hodnoty jsou základní výbavou matematických programů, lze je nalézt na kalkulátoru.
Jedná se o funkce lineární, polynomické (příp. kvadratické), lomené, mocninné, exponenciální
51
a logaritmické. Jejich grafy jsou ve skriptech uvedeny na str. 26 až 28. a těchto
funkcí je zřejmý. K názvu elementární funkce musí student znát její vzorec a graf, který by
měl umět (přibližně, ale výstižně) v souřadném systému načrtnout od ruky. Potíže činí
zejména funkce logaritmická, o které se více zmíníme u hesla inverzní funkce.
Tedy např. vzorec je předpis pro funkci exponenciální. Její
graf pro a > 1 viz str. 27. Nakreslete si graf této funkce pro 0 < a < 1.
Vzorec představuje funkci mocninnou.
Např. pro dostáváme ,
Pro máme
Grafy těchto funkcí viz skripta, str. 26.
Operace s funkcemi. Jsou-li dány dvě libovolné funkce a lze mezi nimi
definovat algebraické operace , Další operací je skládání funkcí:
Vždy v konkrétním případě je nutné stanovit definiční obor výsledné funkce. Získáme jej
řešením příslušných nerovností – viz skripta, kap. 4. Např. nalézt složené funkce
vede na řešení nerovnosti Nalezněte řešení této nerovnosti. Jsou-li zadané
funkce elementární (základní – viz výše), patří i funkce získané uvedenými
operacemi ke třídě funkcí elementárních, které jsou dány analytickým výrazem – vzorcem.
Např. funkce je opět funkce elementární.
Sudé a liché funkce. Definice těchto pojmů (vyjadřujících symetrii) je nutné spojit
s grafickým vyjádřením. Rozumíme zápisu: je sudá (na příslušném definičním oboru)
jsou-li obě sudé nebo liché. Podobné závěry lze učinit i v dalších operacích. Např. funkce
je lichá na
Monotonní funkce. Tento pojem zahrnuje čtyři podmnožiny funkcí monotonních, a
to: rostoucí, neklesající, klesající a nerostoucí. Tato vlastnost lze psát užitím nerovností.
Funkce je rostoucí na funkce je na funkcí klesající. Načrtněte si jejich
grafy.
Periodické funkce. Funkce je periodická, pokud existuje číslo (volíme to
nejmenší) takové, že platí
Funkce je lichá a má periodu ,
je lichou funkcí a má periodu
52
Prosté funkce. Funkce je na množině prostá, pokud pro
platí
Funkce je na prostá,
Inverzní funkce. Každá prostá funkce definuje novou funkci, která se
nazývá inverzní a označuje se symbolem Platí pro ni předpis
Graficky viz skripta, obr. 3.11, str. 36.
Funkce je prostá, k ní inverzní funkce se označuje „log“, tedy
Dosazením získáváme což lze popsat
slovy:
Dekadický logaritmus kladného čísla x při základu 10 je takové číslo, kterým musíme
umocnit základ 10, abychom dostali původní číslo x, tedy např.
Pokud sestrojíme grafy původní funkce a inverzní funkce do jednoho
souřadného systému (nezávisle proměnnou vynášíme v obou případech na osu x), pak
zjišťujeme, že oba grafy jsou symetrické podle přímky
Analogicky platí kde číslo e značí Eulerovu konstantu.
Bezpodmínečně se vyžaduje znalost vzorců, popisujících vlastnosti logaritmů, viz
skripta, str. 29. Logaritmováním výrazu (přirozeným logaritmem) získáváme
důležitý vzorec Ten říká, že dekadický logaritmus je násobkem přirozeného –
viz skripta, str. 27.
Příklad. Veličina závisí na čase t exponenciálně: kde λ > 0 je daná
kladná konstanta, Spočítejte dobu (označme ji T), při které bude hodnota veličiny
dvojnásobná oproti hodnotě v čase
Platí tedy odkud Načrtněte graf této funkce.
Posloupnost. Posloupnost aritmetická a geometrická (viz dodatek 1 tohoto textu),
geometrická řada.
Rovnice. Řešení rovnic, úpravy rovnic. Rovnice o jedné neznámé má tvar
kde a jsou dané funkce. Uvedenou rovnici lze anulováním převést na tvar
Uvědomte si geometrický význam řešení rovnice Její
kořeny se nazývají nulové body funkce a jsou to body, ve kterých graf této funkce protíná
(resp. se dotýká) osu x.
53
Řešit rovnici geometricky znamená nalézt x-ové souřadnice průsečíků
(resp. dotyky) grafů funkcí a Klasickým příkladem je úloha z ekonomie,
kdy jde o nalezení rovnováhy mezi nabídkou a poptávkou.
Student bude bez problémů umět řešit rovnice lineární, kvadratické (v reálném oboru)
a jednodušší rovnice iracionální exponenciální a logaritmické (příp. goniometrické). Problémy
nebude činit řešení soustavy dvou rovnic lineárních, lineární a kvadratické. Poznamenejme, že
řešení všech zde uvedených typů rovnic lze nalézt v kap. 4 skript. Řešení těchto rovnic lze
vždy získat analyticky (vzorcem), použitím úprav rovnice a z vlastností elementárních funkcí.
Poznamenejme, že ne všechny rovnice lze vyřešit uvedeným postupem. Tak např.
rovnici (což je kubická rovnice) nebo rovnice (rovnice
transcendentní) lze vyřešit pouze přibližně užitím numerických metod. (O tom více
v magisterském studiu.)
Úloha. Nalezněte průsečíky grafu funkce s osou x.
Úloha. Nalezněte souřadnice průsečíků grafů funkcí a
Jedná se tedy o řešení jedné kvadratické a jedné lineární rovnice.
Ukázka vstupního testu:
1. Nakreslete grafy funkcí a do jednoho souřadného systému. (Volte
Zjistěte souřadnice jejich průsečíků.
2. Nakreslete graf funkce (Volte Zjistěte, pro která x nabude
funkce hodnoty
Ad 2. Zavedení pojmu derivace a integrálu. Aplikace.
Derivace funkce. Derivace funkce lze přesně definovat pouze užitím pojmu „limity“
funkce. Jedná se o základní pojem celé oblasti matematiky – matematické analýzy a nepatří
k pojmům snadným. Proto je derivace ve skriptech zavedena intuitivně při použití
geometrického názoru.
Důležitým a motivujícím příkladem použití pojmu derivace je zavedení okamžité
rychlosti hmotného bodu (I. Newton, 1643 – 1727, anglický fyzik, matematik a astronom),
pohybujícího se nerovnoměrně po přímce. Nechť se tento bod nachází v čase t v jistém bodě
přímky. Během přírůstku času vykoná dráhu délky Zlomek vyjadřuje jeho
průměrnou rychlost během času na dráze Tento zlomek závisí na přírůstku času
54
není obecně konstantou a nevystihuje tedy veličinu, která by vyjadřovala okamžitou rychlost
bodu v čase t. Tu poskytuje „mezní“ hodnota zlomku Je to hodnota (závislá pouze na t), ke
které se tento zlomek blíží, pokud přírůstek se neomezeně (stále více) blíží k nule. Píšeme
Podle označení, které zavedeme níže, lze psát což říká, že okamžitá
rychlost je derivací dráhy podle času.
Buď tedy dána funkce Derivací funkce v bodě x nazýváme
hodnotu, ke které se „neomezeně“ blíží (pokud existuje) zlomek pokud
(pro zlomek nemá smysl, ale toto omezení nemá na výsledek vliv).
Výraz je podíl přírůstku funkce (který odpovídá
přírůstku h nezávisle proměnné x) a přírůstku h. Derivace funkce se obvykle značí (x).
V některých příkladech výpočet derivace nečiní velký problém. Např. pro funkci se
zabýváme výrazem
.
Lze snadno usoudit, že pokud pak (pro libovolné x) i Tedy
Derivace funkce je pravidlo, které dané funkci přiřadí novou funkci – její derivaci
. V tabulce II na str. 62 skript naleznete pravidla, jak se derivují některé
základní elementární funkce. Na str. 63 skript jsou poučky, jak derivovat algebraické operace
libovolných dvou funkcí.
Tak např. funkce je součinem dvou funkcí a
Použijeme tedy pravidlo pro derivaci součinu V našem případě
Ve všech testech budou zadány pouze lehčí příklady na
derivaci a její aplikaci.
Geometrický význam derivace. Platí tedy derivace funkce v bodě x je
rovna směrnici tečny sestrojené v bodě ke grafu funkce Odtud lze
usoudit, že funkce nemá derivaci v bodech, ve kterých nelze sestrojit tečnu (v těch bodech má
graf funkce zlom, není hladký).
Aplikace derivace. Funkce monotonní. Platí např. Věta 1: Je-li derivace kladná ve
všech bodech intervalu I, pak je na tomto intervalu rostoucí. Analogicky další alternativy. Jde
o velmi užitečnou poučku. Ve složitějších příkladech není jiná možnost, než pomocí derivace
rozhodnout o monotonnosti funkce.
55
Např. funkce má derivaci Protože platí pro
je naše funkce na tomto intervalu klesající.
Důležitou aplikaci má Věta 2: Má-li funkce v bodě x lokální extrém, pak nutně
v tomto bodě je
Tedy kořeny rovnice jsou body „podezřelé“ z extrému. Např. funkce
má derivaci pro nulovou, ale extrém v tomto bodě nevykazuje.
Ovšem pokud funkce v bodě x mění znaménko a platí pak zde extrém
nastává. Stačí užít Větu 1. Rozmyslete obě situace a rozhodněte, zdali jde o lokální maximum
nebo minimum.
Funkce má derivaci kladnou na ápornou na tedy v bodě e má
ostré lokální maximum, které je „globálním“ maximem.
Neurčitý integrál. Jedná se o operaci opačnou k derivaci: Je dána funkce na
intervalu I. Hledáme funkci pro kterou Funkce F se nazývá primitivní funkcí
k funkci f na intervalu I, též neurčitým integrálem. Funkce F nemusí existovat (existuje,
pokud f je spojitá). Metod výpočtu je více, my se omezíme na několik příkladů integrace
elementárních funkcí daných tab. III str. 67 a použijeme poučky, str. 66 skript. O správnosti
výpočtu integrálu se tedy lze přesvědčit derivací.
Integrace je obtížnější operace než derivace. Integrál z funkce který existuje
na R, se nedá vyjádřit vzorcem pomocí elementárních funkcí.
Určitý integrál. Určitý integrál budeme definovat použitím Newtonovy formule. Ta
dává elegantní metodu výpočtu hodnoty určitého integrálu, nemá však geometrickou
názornost. Ta je formulována poučkou uvedenou níže. Určitý integrál se označuje symbolem
kde a je dolní, b je horní mez integrálu ∫ je symbol integrace, význam symbolu dx
nespecifikujeme.
Newtonova formule: kde funkce F je
primitivní k f na tedy
Geometrický význam určitého integrálu. Pokud je funkce f na intervalu
nezáporná, pak číslo udává velikost plochy obrazce, který je znázorněn na obr. 6.1
na str. 69 skript.
Nevlastní integrál. Jeho zavedení je nutné k definici distribuční funkce
v pravděpodobnosti. Vystačíme s případem, kdy alespoň jedna mez integrálu je nevlastní, tj.
56
rovna Pro jeho výpočet platí opět Newtonova formule s tou korekcí, že pokud je např.
horní mez pak hodnotu chápeme ve smyslu mezní hodnoty (limity), tj. čísla, ke
kterému se blíží pokud číslo
Příklad. Spočtěte nevlastní integrál (načrtněte si obrázek):
protože pokud
Při testech budou vždy k dispozici vzorce pro výpočet derivací a integrálů.
Hodnoty určitých integrálů se v praxi počítají numericky na počítačích, zejména neníli
k dispozici primitivní funkce.
Ukázka průběžného testu:
1. Nakreslete graf funkce (Volte např. Nalezněte její lokální
extrémy.
2. Vypočtěte určitý integrál Načrtněte obrazec, jehož velikost plochy je
dána tímto integrálem.
Ad. 3 Elementy pravděpodobnosti. Existuje více způsobů, jak definovat pravděpodobnost
náhodného jevu. Zobecněním těchto přístupů lze říci, že pravděpodobnost je funkce
definovaná na množině náhodných jevů, která má vždy vlastnosti uvedené na str. 74 skript.
Operace mezi náhodnými jevy, které jsou analogické jako operace mezi množinami, jsou
uvedeny na str. 71 skript. Zejména pro každý náhodný jev A platí, Základním
pojmem teorie pravděpodobnosti je pojem náhodné veličiny. V učebnicích je uvedený pojem
popsán většinou jen přibližně, jeho přesná definice je náročná. Pokusíme se ji naznačit.
Výchozí je pojem – prostor elementárních jevů. Označuje se a jeho prvky, tj. elementární
jevy jsou všechny možné výsledky náhodného pokusu. Označují se ω, viz skripta str. 72.
Náhodné veličiny se označují velkými písmeny X, Y. Jsou kvantitativním (číselným) popisem
náhodných pokusů. Je to funkce, která každému elementárnímu jevu ω přiřadí číselnou
hodnotu jeho realizace dále se požaduje, aby pro každé reálné číslo x podmnožina těch
elementárních jevů, pro které byla náhodným jevem, kterému je přiřazena jeho
pravděpodobnost
Distribuční funkce. Distribuční funkcí náhodné veličiny X rozumíme funkci
definovanou předpisem Je definována na R, je neklesající a platí
Popisuje rozdělení pravděpodobnosti (viz níže): přiřazuje pravděpodobnost
všem podmnožinám z , které se funkcí X zobrazí na interval.
Náhodná veličina se spojitým rozdělením pravděpodobnosti.
57
Poznámka. Tato situace odpovídá případu, kdy prostor elementárních jevů je
nespočetný (počet jeho prvků je roven počtu prvků množiny R).
Spojité rozdělení má náhodná veličina X, pro kterou existuje nezáporná funkce f
nazývaná hustotou pravděpodobnosti, pro kterou
Zásadní význam má vzorec
Rovnost zůstane v platnosti, i když interval vlevo je kteréhokoliv typu, např. platí
Výše uvedená vlastnost plyne z vlastností integrálu.
Kvantily náhodné veličiny se spojitým rozdělením pravděpodobnosti.
100α % kvantilem náhodné veličiny X s distribuční funkcí F je číslo které je dáno
vztahem Často se volí
Normální rozdělení. Náhodná veličina X má normální rozdělení s parametry µ a σ,
pokud její hustota pravděpodobnosti je dána výrazem na str. 80 skript. Jeho označení
Její graf je znám pod názvem Gaussova křivka. Příslušná distribuční funkce je dána
integrálem, který není elementární, viz odstavec o neurčitém integrálu. Navíc je zde závislost
na parametrech µ a σ. Lineární substituce převádí náhodnou veličinu X na
náhodnou veličinu XN, která se nazývá normovaná a označuje se Má parametry
Hodnoty její distribuční funkce lze nalézt v tabulkách, resp. jako součást
statistických programů. Uvedeme nakonec důležitý vzorec výpočtu pravděpodobnosti
náhodné veličiny
Kvantily rozdělení se označují uα, jsou rovněž uvedeny v tabulkách.
Uvědomte si, že platí vztah kde jsou kritické hodnoty, viz skripta str. 82. Jejich
geometrický význam viz obr. 7.3 str. 82 skript.
Ukázka závěrečného testu:
1. Načrtněte graf funkce Nalezněte průsečíky grafu s osou x a lokální
extrémy funkce.
2. Vypočtěte integrál Nakreslete jeho geometrický význam.
3. Náhodná veličina X má rozdělení Spočtěte pravděpodobnost
Příklady z oddílu 3 se budou týkat pouze normálního rozdělení. Tabulky distribuční
funkce Φ budou dispozici.
58
Dodatky
1. Na jednoduchém středoškolském pojmu geometrické posloupnosti ukážeme na
deduktivní postup v matematice, kdy z definice sledovaného pojmu se odvozují jeho
další vlastnosti, příp. vzorce.
Geometrická posloupnost. Jsou dána reálná čísla a1 a Číslo a1 se nazývá první
člen geometrické posloupnosti, q je její kvocient. Geometrická posloupnost je definovaná
rekurentní formulí Tedy odtud zřejmě
což je vzorec pro n-tý člen této posloupnosti.
Částečný součet geometrické posloupnosti (označme jej Sn) je definován výrazem:
Odtud
Odečtením získáme tedy
což je vzorec pro částečný součet geometrické posloupnosti.
Je-li pak pokud což znamená, že číslo je libovolné blízké
číslu 0 pokud číslo n je dostatečně velké.
Nekonečnou geometrickou řadou se nazývá výraz
tento výraz má smysl pokud a jeho hodnota je dána číslem, ke kterému se blíží Sn,
pokud Z výše uvedené úvahy snadno usoudíme, že platí,
Příklad. Složené úročení. Označíme-li i roční úrokovou sazbu vyjádřenou desetinným
číslem a Q0 počáteční hodnotu, pak hodnota za jeden rok činí:
Analogicky po n letech dostáváme hodnotu Čísla Qn, n = 0, 1, …
tvoří tedy geometrickou posloupnost s nultým členem Q0 a kvocientem 1 + i.
Příklad. Vyjádřete racionální číslo zlomkem.
.
Další příklady viz skripta.
Úloha. Stanovte chybu, tedy velikost čísla které se dopustíme, pokud číslo
Sn nahradíme číslem S∞.
2. Příklad na aplikaci derivace funkce při popisu jedné zajímavé ekonomické zákonitosti
z neoklasické teorie.
Z mikroekonomie je známá funkce, která v dané firmě popisuje závislost celkových
nákladů TC na vyráběném množství Q při zvoleném časovém úseku:
59
Graf této funkce viz literatura na konci tohoto odstavce, str. 19. Zmíněný graf je
„kvantitativně“ závislý na zvolené firmě, ale jeho „kvalitativní tvar“ je na ní víceméně
nezávislý. Z matematického hlediska se jedná o funkci definovanou na intervalu je zde
rostoucí, obecně není lineární a má zde derivaci. Její další vlastnosti nespecifikujeme.
Její analytický vzorec pro danou firmu lze získat z naměřených, resp. napozorovaných
diskrétních hodnot matematicko-statistickými metodami. Více o tomto tématu se
lze dozvědět v magisterském studiu.
Funkce udává průměrné náklady. Lze předpokládat, že je definovaná
na intervalu pro a pro Dále, že je na intervalu
klesající, na roste, v má minimum.
Důležitou roli v neoklasické teorii má pojem „mezních nákladů“. K posouzení jeho
důležitosti ve sledovaných zákonitostech není nutné použít diferenciálního počtu, pak ale
výklad není zcela přesný.
Mezní náklady MC(Q) v ekonomické interpretaci ukazují o kolik je třeba zvýšit
celkové náklady TC na výrobu další jednotky produkce, tj. proměnné Q. Tedy
symbol označuje přírůstek celkových nákladů TC
odpovídající přírůstku proměnné Q. Pokud pak jsou mezní náklady číselně rovny
přírůstku veličina ale závisí na velikosti a tedy nevystihuje okamžitou „míru
změny“ funkce TC v bodě Q. (Srovnejte s pojmy okamžitá a průměrná rychlost u odstavce
derivace.) Zcela vyhovuje „mezní hodnota“ tohoto zlomku, tj. hodnota, ke které se blíží,
pokud To znamená, že účelné je definovat mezní náklady jako derivaci celkových
nákladů:
Tato definice dává shodnou ekonomickou interpretaci. Stačí si uvědomit platnost
aproximace a volit Vyslovte tuto interpretaci. Navíc je nám
k dispozici celý kalkulus diferenciálního počtu.
Obvyklé tvary grafů funkcí AC(Q) a MC(Q) jsou uvedeny v literatuře uvedené níže.
Z jejich průběhů se usuzuje, že graf mezních nákladů protíná graf průměrných nákladů v jeho
minimu. Tento fakt má důležitou ekonomickou interpretaci. (Opět viz literatura.)
Exaktní platnost tohoto tvrzení dostaneme snadno aplikací diferenciálního počtu za
zcela obecných předpokladů o funkci TC. Zřejmé platí:
.
60
V minimu je tato derivace nulová, tedy což je naše
tvrzení.
Literatura:
Vlček, J., a kol.: Ekonomie a ekonomika, Praha, ASPI, 2005.
Název:
Studijní opory předmětu MT 003 STATISTIKA v kombinovaném studiu
Vysoké školy hotelové v Praze, magisterský studijní program všech oborů
Autor:
Doc. RNDr. Miloslav Malec, CSc.; Dr. Ing. Sylva Skupinová
Zveřejnění:
Elektronická verze uveřejněna v informačním systému VŠH
ISBN: 978-80-87411-22-3